ヨーキョクデイ

いろいろ雑食

数学

領域を n 個の小領域に分割する・2

領域を n 個の小領域に分割する - ヨーキョクデイ 前回はグラフで考えようということを書いたが、では具体的にどんな特徴を持つグラフを考えればいいのか。まず、必然的に各国は離島であったりしてはいけないし、島は海に隣接してないといけないので、連結。…

領域を n 個の小領域に分割する

たとえば、大きな島を $n$ 個に分けろということになった場合、その形や方角なんかを無視して、何パターンの地図が描けるかという問題。 四色問題以前 四色問題ではグラフ理論な話に持ち込むが、ここでもその技法を流用することにする。それは、それぞれの国…

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 4

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数 - ヨーキョクデイ (1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 2 - ヨーキョクデイ (1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 3 - ヨーキョクデイ 今回は整数の分割から歩み寄る。 18 の "strict partition" を考えてみ…

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 3

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数 - ヨーキョクデイ (1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 2 - ヨーキョクデイ 前回の続きとして、 $$\begin{cases} q_0(0)=1 \\ q_n(r)=0 & \left(r \frac{n(n+1)}{2}\right) \\ q_n(r) = q_{n-1}(r)+q_{n-1}(r-n) \…

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数・その 2

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数 - ヨーキョクデイ 乗積 $$\begin{align} Q_n(x) &= (1+x)(1+x^2)(1+x^3) \cdots (1+x^n) \\ &= \prod_{k=1}^{n}(1 + x^k) \end{align}$$ に対して、多項式 $$\begin{align} Q_n(x) &= q_n(0) + q_n(1)\,x + q_n(2)\,x^2 …

(1+x^k) の乗積を展開したときの係数

何年か前になぜか気になって、でもそのままにしていた問題をシンプルにした物だが、数学熱が高いことを理由に改めて考えてみた。 今気にしている式は、 $$\begin{align} Q_n(x) &= (1+x)(1+x^2)(1+x^3) \cdots (1+x^n) \\ &= \prod_{k=1}^{n}(1 + x^k)\end{a…

マニアのための n 倍角・その 3

前回は 7 年近く前に書いた マニアのための n 倍角・証明 であるが、これは $\sin$ の n 倍角、すなわち $\sin n\theta$ を $\sin(\theta+\alpha)$ の有限積で表すものであった。つまり、 $$\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{…

積の微分法則の復習

今回は積の微分の公式をいじる。 $x$ の関数である 2 関数 $f(x),\,g(x)$ の積を $x$ で微分すると、 $$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x) \right) = \left( \frac{d}{dx}f(x) \right)g(x) + f(x) \left(\frac{d}{dx}g(x) \right)$$ となるわけである。一般に複数…

tex 記法をやめて MathJax に切り替えていく

はてなダイアリーで書いていた時代に、数式を tex 記法を使って書いていた。これは mimeTeX という物を使って文字がガタガタの画像に変換するものである。そしてはてなブログに移行したところ、tex 記法を使うと Google Chart API を使って変換されるように…

2 次正方行列の累乗の次数減らし・証明

以前書いた、2 次正方行列の累乗の次数減らしの公式 を証明する。 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ なる 2 次正方行列について、$\alpha = a+d$, $\beta = ad-bc$ とおき、 $$t_n=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}{_{n-k}{\rm C}_{k-1}…

複素解析に入門することにした

現実逃避には数学なのだが、道具としての数学として重要な複素関数についての議論をもう少し広く深く知りたいということで。わかってるようで実はよくわからない分野その 1。 それだけを扱った本を持っていなかったので購入。 キーポイント複素関数 (理工系…

初等整数論に入門することにした

工科系のための初等整数論入門―公開鍵暗号をめざして (情報数理シリーズ)作者: 楫元出版社/メーカー: 培風館発売日: 2000/07メディア: 単行本購入: 2人 クリック: 16回この商品を含むブログ (1件) を見る Project Euler において、この辺の知識が全くないこ…

Re: 3角形の2等分線の長さ

Graviness Blog | 【未解決】3角形の2等分線の長さ 誘導(?)に従って、ヘロンの公式から解を導いてみた。 $a\equiv BC$, $b\equiv CA$, $c\equiv AB$, $d\equiv AM$ とおく。また、△ABM、△ACM の面積を $S$ とする。 まず、△ACM について。 $$16S^2=(\frac…

マニアのための n 倍角・証明

前回 の続きとして、今度は証明してみる。ただしカンニングしまくり。 まず、$z^n - e^{j2n\theta}$(これを (i) とする)を考える。 (i) の根は次のように表される。 $$e^{j\left(2\theta + \frac{k-1}{n} \cdot 2\pi\right)} = e^{j2\left(\theta + \frac{…

マニアのための n 倍角・準備

$$\begin{align} \sin2\theta &= 2\sin\theta \cos\theta \\ &= 2\sin\theta \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) \end{align}$$ $$\begin{align} \sin3\theta &= \sin(2\theta + \theta) \\ &= \sin2\theta \cos\theta + \cos2\theta \sin\theta \\ &=…

Q.E.D.

7 年前に見つけたブツの証明がようやく。あとで書く。

線型代数学再入門

線型代数入門 (基礎数学1)作者: 齋藤正彦出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 1966/03/31メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 102回この商品を含むブログ (47件) を見る 読み始めた。現実逃避には最適。

フィボナッチ数列、パスカルの三角形、二項係数

前回、フィボナッチ数列の行列表現について知ったわけだが、それは $\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n$ というものである。ここで、$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ として、以前書…

フィボナッチ数列

猫も杓子も、よくあるあのフィボナッチ数列の漸化式を再帰的にほげほげしてるなぁと思って、これって行列表現できるんじゃね的な発想で、自分で考える前に軽くぐぐったらあっさりと フィボナッチ数列とは - はてなダイアリー や フィボナッチ数 - Wikipedia …

2 次正方行列の累乗の次数減らしを Ruby で使ってみる

2 次正方行列の累乗の次数減らし を Ruby で実装し、その方法で実際に行列の累乗を求めてみるよ。 require 'matrix' require 'mathn' class Matrix def my_power(n) # for 2 * 2 matrix def t(n) def combination(n, m) if m == 0 or m == n return 1 else r…

2 次正方行列の累乗の次数減らし

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ なる 2 次正方行列があるとして、ケイリー・ハミルトンの定理 を使って $A^n$ の次数を減らそうという試み。 $\alpha = a+d$, $\beta = ad-bc$ とすると、ケイリー・ハミルトンの定理より、 $$\begin{align}A^2 &=…