ヨーキョクデイ

いろいろ雑食

2 次正方行列の累乗の次数減らし

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ なる 2 次正方行列があるとして、ケイリー・ハミルトンの定理 を使って $A^n$ の次数を減らそうという試み。
$\alpha = a+d$, $\beta = ad-bc$ とすると、ケイリー・ハミルトンの定理より、
$$\begin{align}A^2 &= (a+d)A-(ad-bc)E \\ &= \alpha A-\beta E \\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^3 &= \alpha A^2-\beta A \\ &= \alpha(\alpha A-\beta E)-\beta A \\ &= (\alpha^2 - \beta)A-\alpha\beta E \\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^4 &= (\alpha^2 - \beta)(\alpha A-\beta E)-\alpha\beta A \\ &= (\alpha^3-2\alpha\beta)A-(\alpha^2 - \beta)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^5 &= (\alpha^3-2\alpha\beta)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^2 - \beta)\beta A \\ &= (\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)A-(\alpha^3-2\alpha\beta)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^6 &= (\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^3-2\alpha\beta)\beta A \\ &= (\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)A-(\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^7 &= (\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)\beta A \\ &= (\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)A-(\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^8 &= (\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)\beta A \\ &= (\alpha^7-6\alpha^5\beta+10\alpha^3\beta^2-4\alpha\beta^3)A-(\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)\beta E\\ \end{align}$$
となり、以上から類推すると
$$(A^n の E の係数) = (A^{n-1} の A の係数) \beta$$
が成り立ちそう。
また、










n 乗A の係数
8$\alpha^7$$-6\alpha^5\beta$$+10\alpha^3\beta^2$$-4\alpha\beta^3$
7$\alpha^6$$-5\alpha^4\beta$$+6\alpha^2\beta^2$$-1\cdot1\beta^3$
6$\alpha^5$$-4\alpha^3\beta$$+3\alpha\beta^2$
5$\alpha^4$$-3\alpha^2\beta$$+1\cdot1\beta^2$
4$\alpha^3$$-2\alpha\beta$
3$\alpha^2$$-1\cdot1\beta$
2$\alpha$

を左下から右上方向に斜めに見ると二項定理っぽい。これから類推して、$A^n$ の $A$ の係数は
$$\begin{align}&{_{n-1}{\rm C}_0}\,\alpha^{n-1} - {_{n-2}{\rm C}_1}\,\alpha^{n-3}\beta + {_{n-3}{\rm C}_2}\,\alpha^{n-5}\beta^2 - {_{n-4}{\rm C}_3}\,\alpha^{n-7}\beta^3 + \cdots \\ = &\sum_{k=1} {_{n-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{n-(2k-1)}(-\beta)^{k-1}\end{align}$$
総和の上限について、$n-k \geq k-1$ より $\frac{n+1}{2} \geq k$ だから、
$$t_n = \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} {_{n-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{n-(2k-1)}(-\beta)^{k-1}$$
とおくと、以上より次のようになりそうだ。
$$A^n=t_n\,A - t_{n-1}\,\beta E$$
証明略。
という公式のようなものをかつて作ったときのノートを発掘したので、TeX 記法の練習を兼ねてここに書いてみたのだ。当時、$A^3$ のようなものも逐一 3 乗せずに C.H. の定理で次数を減らせということが盛んに叫ばれていたので、このように $A^n$ の場合に一般化してみたんだった気がする。こういう役に立たない数列的な公式作りが高 3 当時の趣味で、周囲からは変な人だと思われていたのだろうけど、Graviness Blog を見ていたら当時の楽しさを思い出した次第。TeX まんどくせ。