$A=\smqty(a&b\\c&d)$ なる 2 次正方行列があるとして、ケイリー・ハミルトンの定理 を使って $A^n$ の次数を減らそうという試み。
$\alpha = a+d, \beta = ad-bc$ とすると、ケイリー・ハミルトンの定理より、$$
\begin{align}A^2 &= (a+d)A-(ad-bc)E \\ &= \alpha A-\beta E \\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^3 &= \alpha A^2-\beta A \\ &= \alpha(\alpha A-\beta E)-\beta A \\ &= (\alpha^2 - \beta)A-\alpha\beta E \\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^4 &= (\alpha^2 - \beta)(\alpha A-\beta E)-\alpha\beta A \\ &= (\alpha^3-2\alpha\beta)A-(\alpha^2 - \beta)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^5 &= (\alpha^3-2\alpha\beta)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^2 - \beta)\beta A \\ &= (\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)A-(\alpha^3-2\alpha\beta)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^6 &= (\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^3-2\alpha\beta)\beta A \\ &= (\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)A-(\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^7 &= (\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^4-3\alpha^2\beta+\beta^2)\beta A \\ &= (\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)A-(\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)\beta E\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A^8 &= (\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)(\alpha A-\beta E)-(\alpha^5-4\alpha^3\beta+3\alpha\beta^2)\beta A \\ &= (\alpha^7-6\alpha^5\beta+10\alpha^3\beta^2-4\alpha\beta^3)A-(\alpha^6-5\alpha^4\beta+6\alpha^2\beta^2-\beta^3)\beta E\\ \end{align}
$$となり、以上から類推すると$$
\begin{align}(A^n の E の係数) = (A^{n-1} の A の係数) \beta\end{align}
$$が成り立ちそう。
また、
| n 乗 | A の係数 | |||
|---|---|---|---|---|
| 8 | $\alpha^7$ | $-6\alpha^5\beta$ | $+10\alpha^3\beta^2$ | $-4\alpha\beta^3$ |
| 7 | $\alpha^6$ | $-5\alpha^4\beta$ | $+6\alpha^2\beta^2$ | $-1\cdot1\beta^3$ |
| 6 | $\alpha^5$ | $-4\alpha^3\beta$ | $+3\alpha\beta^2$ | |
| 5 | $\alpha^4$ | $-3\alpha^2\beta$ | $+1\cdot1\beta^2$ | |
| 4 | $\alpha^3$ | $-2\alpha\beta$ | ||
| 3 | $\alpha^2$ | $-1\cdot1\beta$ | ||
| 2 | $\alpha$ | |||
\begin{align}&{_{n-1}{\rm C}_0}\,\alpha^{n-1} - {_{n-2}{\rm C}_1}\,\alpha^{n-3}\beta + {_{n-3}{\rm C}_2}\,\alpha^{n-5}\beta^2 - {_{n-4}{\rm C}_3}\,\alpha^{n-7}\beta^3 + \cdots \\ = &\sum_{k=1} {_{n-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{n-(2k-1)}(-\beta)^{k-1}\end{align}$$
総和の上限について、$n-k \geq k-1$ より $\frac{n+1}{2} \geq k$ だから、$$
\begin{align}t_n = \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} {_{n-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{n-(2k-1)}(-\beta)^{k-1}\end{align}
$$とおくと、以上より次のようになりそうだ。$$
\begin{align}A^n=t_n\,A - t_{n-1}\,\beta E\end{align}
$$証明略。
という公式のようなものをかつて作ったときのノートを発掘したので、TeX 記法の練習を兼ねてここに書いてみたのだ。当時、$A^3$ のようなものも逐一 3 乗せずに C.H. の定理で次数を減らせということが盛んに叫ばれていたので、このように $A^n$ の場合に一般化してみたんだった気がする。こういう役に立たない数列的な公式作りが高 3 当時の趣味で、周囲からは変な人だと思われていたのだろうけど、Graviness Blog を見ていたら当時の楽しさを思い出した次第。TeX まんどくせ。
フィボナッチ多項式の一般化として見るとよさげ。
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