ヨーキョクデイ

いろいろ雑食

マニアのための n 倍角・証明

前回 の続きとして、今度は証明してみる。ただしカンニングしまくり。
まず、$z^n - e^{j2n\theta}$(これを (i) とする)を考える。
(i) の根は次のように表される。
$$e^{j\left(2\theta + \frac{k-1}{n} \cdot 2\pi\right)} = e^{j2\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}$$ ただし $k = 1,\,2,\,3,\,...\,,\,n$
従って、(i) は次のように因数分解できる。
$$z^n - e^{j2n\theta} = \prod_{k=1}^n \left(z - e^{j2\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right)$$
これに $z=1$ を代入。
$$1 - e^{j2n\theta} = \prod_{k=1}^n \left(1 - e^{j2\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right)$$
これを (ii) とする。
(ii) の左辺を変形。
$$\begin{align} 1 - e^{j2n\theta} &= (e^{-jn\theta} - e^{jn\theta}) e^{jn\theta} \\ &= \frac{e^{jn\theta} - e^{-jn\theta}}{j2}(-j2e^{jn\theta}) \\ &= (\sin n\theta)(-j2e^{jn\theta}) \end{align}$$
ここで、$$-j = e^{j\frac{3}{2}\pi}$$ だから、
$$1 - e^{j2n\theta} = (\sin n\theta) \cdot 2 \cdot e^{j\left(n\theta + \frac{3}{2}\pi\right)}$$
これを (iii) とする。
(ii) の右辺を変形。
$$\begin{align} \prod_{k=1}^n \left(1 - e^{j2\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right) &= \prod_{k=1}^n \left(\sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\left(-j2e^{j\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right)\right) \\ &= \left(\prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\right)\left(\prod_{k=1}^n \left(-j2e^{j\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right)\right) \\ &= \left(\prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\right) (-j2)^n\,e^{j\sum_{k=1}^n \left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)} \\ &= \left(\prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\right) (-j2)^n\,e^{j\left(n\theta + \frac{n-1}{2}\pi\right)} \end{align}$$
ここで、$-j = e^{j\frac{3}{2}\pi}$ だから、
$$\begin{align} \prod_{k=1}^n \left(1 - e^{j2\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)}\right) &= \left(\prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\right) \cdot 2^n \cdot e^{j\frac{3}{2}n\pi} \cdot e^{j\left(n\theta + \frac{n-1}{2}\pi\right)} \\ &= \left(\prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)\right) \cdot 2^n \cdot e^{j\left(n\theta + \frac{4n-1}{2}\pi\right)} \end{align}$$
これを (iv) とする。
ここで、
$$\begin{align} \frac{2^n\,e^{j\left(n\theta + \frac{4n-1}{2}\pi\right)}}{2e^{j\left(n\theta + \frac{3}{2}\pi\right)}} &= 2^{n-1}\,e^{j\frac{4n-4}{2}\pi} \\ &= 2^{n-1}\,e^{j2(n-1)\pi} \\ &= 2^{n-1} \end{align}$$
であるから、(ii)(iii)(iv) より、
$$\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k-1}{n}\pi\right)$$
が成り立つ。証明終わり!
もやもやが晴れたし、これでいつでも死ねる!
証明の出発地点から巧妙な流れだけど、式変形自体は簡単。