前回 の続きとして、今度は証明してみる。ただしカンニングしまくり。
まず、$z^n - e^{j2n\theta}$（これを (i) とする）を考える。
(i) の根は次のように表される。$$
e^{j\qty(2\theta + \frac{k}{n} \cdot 2\pi)} = e^{j2\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)}
$$ ただし $k = 0,1,2,\ldots,n-1$
従って、(i) は次のように因数分解できる。$$
z^n - e^{j2n\theta} = \prod_{k=0}^{n-1} \qty(z - e^{j2\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})
$$これに $z=1$ を代入。$$
1 - e^{j2n\theta} = \prod_{k=0}^{n-1} \qty(1 - e^{j2\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})
$$これを (ii) とする。
(ii) の左辺を変形。$$
\begin{align} 1 - e^{j2n\theta} &= (e^{-jn\theta} - e^{jn\theta}) e^{jn\theta} \\ &= \frac{e^{jn\theta} - e^{-jn\theta}}{j2}(-j2e^{jn\theta}) \\ &= (\sin n\theta)(-j2e^{jn\theta}) \end{align}
$$ここで、$$
-j = e^{j\frac{3}{2}\pi}
$$ だから、$$
1 - e^{j2n\theta} = (\sin n\theta) \cdot 2 \cdot e^{j\qty(n\theta + \frac{3}{2}\pi)}
$$これを (iii) とする。
(ii) の右辺を変形。$$
\begin{align}
\prod_{k=0}^{n-1} \qty(1 - e^{j2\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})
&= \prod_{k=0}^{n-1} \qty(\sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)\qty(-j2e^{j\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})) \\
&= \qty(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi))\qty(\prod_{k=0}^{n-1} \qty(-j2e^{j\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})) \\
&= \qty(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)) (-j2)^n\,e^{j\sum_{k=0}^{n-1} \qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)} \\
&= \qty(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)) (-j2)^n\,e^{j\qty(n\theta + \frac{n-1}{2}\pi)}
\end{align}
$$ここで、$-j = e^{j\frac{3}{2}\pi}$ だから、$$
\begin{align} \prod_{k=0}^{n-1} \qty(1 - e^{j2\qty(\theta + \frac{k}{n}\pi)})
&= \qty(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)) \cdot 2^n \cdot e^{j\frac{3}{2}n\pi} \cdot e^{j\qty(n\theta + \frac{n-1}{2}\pi)} \\
&= \qty(\prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)) \cdot 2^n \cdot e^{j\qty(n\theta + \frac{4n-1}{2}\pi)}
\end{align}
$$これを (iv) とする。
ここで、$$
\begin{align}
\frac{2^n\,e^{j\qty(n\theta + \frac{4n-1}{2}\pi)}}{2e^{j\qty(n\theta + \frac{3}{2}\pi)}}
&= 2^{n-1}\,e^{j\frac{4n-4}{2}\pi} \\
&= 2^{n-1}\,e^{j2(n-1)\pi} \\
&= 2^{n-1}
\end{align}
$$であるから、(ii)(iii)(iv) より、$$
\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)
$$が成り立つ。証明終わり！
もやもやが晴れたし、これでいつでも死ねる！
証明の出発地点から巧妙な流れだけど、式変形自体は簡単。
