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積の微分法則の復習

今回は積の微分の公式をいじる。
$x$ の関数である 2 関数 $f(x),\,g(x)$ の積を $x$ で微分すると、
$$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x) \right) = \left( \frac{d}{dx}f(x) \right)g(x) + f(x) \left(\frac{d}{dx}g(x) \right)$$
となるわけである。一般に複数の関数の積で表される $f(x) = \prod_k f_k(x)$ という関数の微分であっても、これを再帰的に適用することで同様の関係が得られる。
$$\begin{align} \frac{df}{dx} &= \frac{d}{dx}\prod_k f_k \\ &= \sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \prod_{i \ne k} f_i \right) \end{align} $$
さらに(形式的に)変形すると、
$$\begin{align} \frac{df}{dx} &= \sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \prod_i f_i \right) \\ &= \left(\sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \right) \right)\prod_k f_k \\ &= \left(\sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \right) \right)f \end{align} $$
となり、対称性を意識すれば、
$$\begin{align} \frac{df}{dx} \cdot \frac{1}{f} &= \sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \right) \end{align} $$
と書ける。この両辺を積分すれば、分子が分母の微分の形なので $\log$ なんちゃらが出てくるが、それを外せば(絶対値記号付きで)元の式が出てきそうであることがわかる。