今回は積の微分の公式をいじる。
$x$ の関数である 2 関数 $f(x),\,g(x)$ の積を $x$ で微分すると、$$
\dv{x} \qty(f(x)g(x) ) = \qty( \dv{x} f(x) )g(x) + f(x) \qty(\dv{x} g(x) )
$$となるわけである。一般に複数の関数の積で表される $f(x) = \prod_k f_k(x)$ という関数の微分であっても、これを再帰的に適用することで同様の関係が得られる。
$$\begin{align} \dv{f}{x} &= \dv{x}\prod_k f_k \\ &= \sum_k \qty(\dv{f_k}{x} \cdot \prod_{i \ne k} f_i ) \end{align}$$
さらに（形式的に）変形すると、
$$\begin{align} \dv{f}{x} &= \sum_k \qty(\dv{f_k}{x} \cdot \frac{1}{f_k} \prod_i f_i ) \\ &= \qty(\sum_k \qty(\dv{f_k}{x} \cdot \frac{1}{f_k} ) )\prod_k f_k \\ &= \qty(\sum_k \qty(\dv{f_k}{x} \cdot \frac{1}{f_k} ) )f \end{align}$$となり、対称性を意識すれば、$$\begin{align} \dv{f_k}{x} \cdot \frac{1}{f} &= \sum_k \qty(\dv{f_k}{x} \cdot \frac{1}{f_k} ) \end{align}$$と書ける。この両辺を積分すれば、分子が分母の微分の形なので $\log$ なんちゃらが出てくるが、それを外せば（絶対値記号付きで）元の式が出てきそうであることがわかる。
