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マニアのための n 倍角・その 3

前回は 7 年近く前に書いた マニアのための n 倍角・証明 であるが、これは $\sin$ の n 倍角、すなわち $\sin n\theta$ を $\sin(\theta+\alpha)$ の有限積で表すものであった。つまり、
$$\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)$$
と表せるということを示した。
さて、左辺を $\theta$ で微分してみる。
$$\frac{d}{d\theta}\sin n\theta = n \cos n\theta$$
では同様に右辺を $\theta$ で微分してみるわけだが、積の微分法則の復習 で導出した、
$$\begin{align} \frac{d}{dx}\prod_k f_k &= \left( \sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \right) \right)\prod_k f_k \end{align}$$
となる関係を用いることで、
$$\begin{align} & \frac{d}{d\theta} \left(2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right) \\ = &\, 2^{n-1} \frac{d}{d\theta} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\,
2^{n-1} \left[ \sum_{k=1}^n \left(\left(\frac{d}{dx}\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right) \cdot \frac{1}{\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)} \right) \right] \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\, \left[ \sum_{k=1}^n \frac{\cos\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)}{\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)} \right] \cdot 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\, \left[ \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right] \cdot \sin n\theta \end{align}$$
となるわけである。すなわち、
$$n \cos n\theta = \left[ \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right] \cdot \sin n\theta$$
であるので、
$$\cot n\theta = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)$$
となって、$\cot$ の n 倍角、すなわち $\cot n\theta$ が $\cot(\theta+\alpha)$ の有限和で表されることがわかる。何かしら図形的な意味を見いだせるのであろうか。