ヨーキョクデイ

いろいろ雑食

Re: 3角形の2等分線の長さ

誘導(?)に従って、ヘロンの公式から解を導いてみた。

a\equiv BC, b\equiv CA, c\equiv AB, d\equiv AM とおく。また、△ABM、△ACM の面積を S とする。

まず、△ACM について。

\displaystyle 16S^2=(\frac{a}{2}+b+d)(-\frac{a}{2}+b+d)(\frac{a}{2}-b+d)(\frac{a}{2}+b-d)

ここで、p\equiv\frac{a}{2}+d, q\equiv\frac{a}{2}-dとおく。

すると、

\displaystyle 16S^2=(p+b)(-q+b)(p-b)(q-b)=-(p^2-b^2)(q^2-b^2)

△ABM についても同様に、

\displaystyle 16S^2=-(p^2-c^2)(q^2-c^2)

これらから、次のような方程式を考える。

\begin{align} (p^2-b^2)(q^2-b^2)&=(p^2-c^2)(q^2-c^2) \\
p^2q^2-(p^2+q^2)b^2+b^4&=p^2q^2-(p^2+q^2)c^2+c^4 \\
(p^2+q^2)(b^2-c^2)&=b^4-c^4=(b^2+c^2)(b^2-c^2) \end{align}

b\ne c のとき、

\begin{align} b^2+c^2=p^2+q^2&=\frac{a^2}{2}+2d^2 \\
2d^2&=-\frac{a^2}{2}+b^2+c^2 \end{align}

d>0 より、

\displaystyle d=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{2}(b^2+c^2)}

b=c のとき、△ACM について三平方の定理より、

\displaystyle b^2=\frac{a^2}{4}+d^2

d>0 より、

\displaystyle d=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+b^2}

となり、b\ne c の場合の解に c=b を代入した結果である。

従って、

\displaystyle AM=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{2}(b^2+c^2)}

以上。

でもやはりこれは難しく考えすぎで、余弦定理を使うと一発。

余弦定理より、

\displaystyle c^2=\frac{a^2}{4}+d^2-ad\cos\angle AMB

\begin{align} b^2&=\frac{a^2}{4}+d^2-ad\cos(\pi-\angle AMB) \\
&=\frac{a^2}{4}+d^2+ad\cos\angle AMB \end{align}

辺々を加えて、

\begin{align} b^2+c^2&=\frac{a^2}{2}+2d^2 \\
2d^2&=-\frac{a^2}{2}+b^2+c^2 \\
d&=\sqrt{-\frac{a^2}{4}+\frac{1}{2}(b^2+c^2)} \end{align}

となり、ヘロンの公式バージョンと同じ結果が出た。