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2 次正方行列の累乗の次数減らし・証明

以前書いた、2 次正方行列の累乗の次数減らしの公式 を証明する。

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} なる 2 次正方行列について、\alpha = a+d, \beta = ad-bc とおき、

\displaystyle t_n=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}{_{n-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{n-(2k - 1)}\,(-\beta)^{k - 1}

としたとき、n \geq 2 なる整数 n について、A^n=t_n\,A-t_{n-1}\,\beta E が成り立つことを数学的帰納法により示す。

ただし、便宜上 0^0=1 として計算する。

I) n=2 のとき、

\begin{align}t_2 &= \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{3}{2} \rfloor}{_{2-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{3-2k}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= \sum_{k=1}^{1}{_{2-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{3-2k}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= {_1{\rm C}_0}\,\alpha\,(-\beta)^0 \\ &= \alpha \\ \end{align}

\begin{align}t_1 &= \sum_{k=1}^{\lfloor 1 \rfloor}{_{1-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{2-2k}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= \sum_{k=1}^{1}{_{1-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{2-2k}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= {_0{\rm C}_0}\,\alpha^0\,(-\beta)^0 \\ &= 1 \\ \end{align}

よって、ケイリー・ハミルトンの定理より

\begin{align}t_2\,A-t_1\,\beta E &= \alpha A - \beta E \\ &= A^2 \end{align}

従って、n=2 のとき成り立つ。

II) n=m のとき成り立つと仮定して、

\displaystyle A^m=t_m\,A - t_{m - 1}\,\beta E

右辺に A をかけて、ケイリー・ハミルトンの定理より、

\begin{align}t_m\,A^2 - t_{m - 1}\,\beta A &= t_m\,(\alpha A - \beta E) - t_{m - 1}\,\beta A \\ &= (t_m\,\alpha -  t_{m - 1}\,\beta)\,A - t_m\,\beta E \end{align}

これを (*) とする。

i) m が偶数のとき

\lfloor \frac{m+2}{2} \rfloor = \frac{m}{2}+1, \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{m}{2} \rfloor = \frac{m}{2} より、

\begin{align}t_{m+1} &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}+1}{_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \end{align}

\begin{align}t_{m}\,\alpha &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} \end{align}

\begin{align}-t_{m - 1}\,\beta &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}}{_{m-k - 1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k \\ &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}-1}{_{m-k - 1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= \sum_{h=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-h}{\rm C}_{h-2}}\,\alpha^{m-2h+2}\,(-\beta)^{h-1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \end{align}

よって、

\begin{align}t_{m}\,\alpha - t_{m - 1}\,\beta &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}} ({_{m-k}{\rm C}_{k - 1}} + {_{m-k}{\rm C}_{k-2}})\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= t_{m+1} \end{align}

ii) m が奇数のとき

\lfloor \frac{m+2}{2} \rfloor = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor = \frac{m+1}{2}, \lfloor \frac{m}{2} \rfloor = \frac{m - 1}{2} より、

\displaystyle t_{m+1} = \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1}

\displaystyle t_m\,\alpha = \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k - 1}

\displaystyle -t_{m - 1}\,\beta = \sum_{k=1}^{\frac{m - 1}{2}}{_{m-k - 1}{\rm C}_{k - 1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k

よって、

\begin{align} t_{m+1} - t_m\,\alpha &= \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}({_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}} - {_{m-k}{\rm C}_{k - 1}})\,\alpha^{m-2k-2}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= 0 + \sum_{k=2}^{\frac{m+1}{2}} ({_{m-k+1}{\rm C}_{k - 1}} - {_{m-k}{\rm C}_{k - 1}})\,\alpha^{m-2k-2}\,(-\beta)^{k - 1} \\ &= \sum_{h=1}^{\frac{m - 1}{2}} ({_{m-h}{\rm C}_h} - {_{m-h-1}{\rm C}_h})\,\alpha^{m-2h}\,(-\beta)^h \\ &= \sum_{h=1}^{\frac{m - 1}{2}} {_{m-h-1}{\rm C}_{h-1}}\,\alpha^{m-2h}\,(-\beta)^h \\ &= -t_m\,\beta \end{align}

i)ii) より、t_{m+1}=t_m\,\alpha - t_{m - 1}\,\beta であるから、(*) より、n=m+1 のときも A^{m+1}=t_{m+1}\,A - t_m\,\beta E が成り立つ。

I)II) より証明された。

長いこと証明は放置していたが、ようやっと。この手の式変形は必須テクだね。