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マニアのための n 倍角・その 3

前回は 7 年近く前に書いた マニアのための n 倍角・証明 であるが、これは \sin の n 倍角、すなわち \sin n\theta\sin(\theta+\alpha) の有限積で表すものであった。つまり、

\displaystyle \sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)

と表せるということを示した。
さて、左辺を \theta微分してみる。

\displaystyle \frac{d}{d\theta}\sin n\theta = n \cos n\theta

では同様に右辺を \theta微分してみるわけだが、積の微分法則の復習 で導出した、

\begin{align} \frac{d}{dx}\prod_k f_k &= \left( \sum_k \left(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} \right) \right)\prod_k f_k \end{align}

となる関係を用いることで、

\begin{align} & \frac{d}{d\theta} \left(2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right) \\ = &\, 2^{n-1} \frac{d}{d\theta} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\,
 2^{n-1} \left[ \sum_{k=1}^n \left(\left(\frac{d}{dx}\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right) \cdot \frac{1}{\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)} \right) \right] \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\, \left[ \sum_{k=1}^n \frac{\cos\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)}{\sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)} \right] \cdot 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \sin\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \\ = &\, \left[ \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right] \cdot \sin n\theta \end{align}

となるわけである。すなわち、

\displaystyle n \cos n\theta = \left[ \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right) \right] \cdot \sin n\theta

であるので、

\displaystyle \cot n\theta = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cot\left(\theta + \frac{k -1}{n}\pi\right)

となって、\cot の n 倍角、すなわち \cot n\theta\cot(\theta+\alpha) の有限和で表されることがわかる。何かしら図形的な意味を見いだせるのであろうか。