何年か前になぜか気になって、でもそのままにしていた問題をシンプルにした物だが、数学熱が高いことを理由に改めて考えてみた。今気にしている式は、$$\begin{align} Q_n(x) &= (1+x)(1+x^2)(1+x^3) \cdots (1+x^n) \\ &= \prod_{k=1}^{n}(1 + x^k)\end{ali…

前回は 7 年近く前に書いた マニアのための n 倍角・証明 であるが、これは $\sin$ の $n$ 倍角、すなわち $\sin n\theta$ を $\sin(\theta+\alpha)$ の有限積で表すものであった。つまり、$$\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{…

今回は積の微分の公式をいじる。$x$ の関数である 2 関数 $f(x),\,g(x)$ の積を $x$ で微分すると、$$ \dv{x} \qty(f(x)g(x) ) = \qty( \dv{x} f(x) )g(x) + f(x) \qty(\dv{x} g(x) ) $$となるわけである。一般に複数の関数の積で表される $f(x) = \prod_k f…

先日家族からプロバイダ変更の検討などの相談があり、どういったプランの契約内容かも知らなかったのでいろいろと調査してみたところ、より高速なインターネッツ環境が整えられた気がする。ところで我が家は 1 階にインターネッツの諸機器があり、我が部屋は…