濱中裕明先生の X のポストより。
赤は二項係数、青は連続する奇数。先日、息子と積分計算で遊んでいて見つけたんだけど、積分を経由せずに直接計算で示せるものでしょうか。 pic.twitter.com/euAJCPUTAm
— 濱中裕明 (@Ototo_) 2023年9月26日
それ部分分数分解で解けるよ案件なので。
調和数列の積の部分分数分解
再掲。
公式
非負整数 $n$ と複素数 $z$ について、次の等式が成り立つ。
$$\prod_{k=0}^{n} \frac{1}{z+k} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{z+k}$$
ただし、$z \neq 0, -1, -2, -3, \ldots, -n$。また、$\binom{n}{k}$ は二項係数。
シフト
$k$ を $n+1$ まで動かしてみる。このとき、$$\prod_{k=0}^{n+1} \frac{1}{z+k} = \qty[ \prod_{k=0}^n \frac{1}{z+k} ] \frac{1}{z+n+1}$$であり、また、$$\prod_{k=0}^{n+1} \frac{1}{z+k} = \frac{1}{z} \qty[ \prod_{k=1}^{n+1} \frac{1}{z+k} ] = \frac{1}{z} \qty[ \prod_{k=0}^n \frac{1}{z+k+1} ]$$である。
両者を比較して、
$$\prod_{k=0}^n \frac{1}{z+k} = \frac{z+n+1}{z} \prod_{k=0}^n \frac{1}{(z+1)+k}$$であり、部分分数分解の公式から、$$
\begin{align}
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{z+k}
&= \frac{z+(n+1)}{z} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{(z+1)+k} \\
&= \qty( 1+\frac{n+1}{z} ) \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{z+k+1}
\end{align}
$$となる。
また、$d \neq 0$ として、$z$ を $z/d$ で置き換えると、$$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{\frac{z}{d}+k} = \qty( 1+\frac{n+1}{\frac{z}{d}} ) \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{\frac{z}{d}+k+1}$$であり、両辺の分母に $d$ を掛けることにより、$$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{z+kd} = \qty( 1+\frac{(n+1)d}{z} ) \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{z+(k+1)d}$$を得る。
解答
件の問題については、$z=1, d=2$ の場合であり、$$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{2k+1} = (2n+3) \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{2k+3}$$となる。
