ここ何年も新調したいとは思っていたのだが、今まで 12 年も使っていた Roland の UA-1G パイセンの入力側の何かがいよいよ不調になったので。 www.roland.comここで、今回は Arturia というフランスの会社の MiniFuse 2 というのの白をチョイス。 www.artur…

目的 方法 勝敗パターンの列挙 用語と蛇足 勝ち点パターンの列挙 具体例 コード 目的 引き分けを許す 1 回総当たり戦を $n$ チームで行ったとき、その結果に表れる勝敗パターンと勝ち点パターンを列挙したい。サッカーのワールドカップが盛り上がっており、…

問題 数学セミナー 2022 年 3 月号のエレガントな解答をもとむ、の出題 1。 解答は同 6 月号。 www.web-nippyo.jp正の整数 $k$ について次の値を求めよ。$$\sum^k_{j=0}(-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1}$$というシンプルなもの。 解答 調和数列の…

Wikipedia に載っていたものの、証明がなかったので。 en.wikipedia.orgまず、二項係数を一般化して、複素数 $z$ と非負整数 $n$ について、$$ \begin{align} \binom{z}{n} &\triangleq \frac{z (z-1) \cdots (z-n+1)}{n!} \\ &= \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{…

以前に触れた Melzak の公式であるが、その証明をして、さらにいろいろな例に適応させる試み。 e10s.hateblo.jp Melzak の公式 証明 系 系の具体例 調和数列の積 等差数列が分母・分子に交互に来る積 調和数列の部分列の積 〆 Melzak の公式 非負整数 $n$ と…

何を言ってるのかわからねーと思うが、たとえば、$$\frac{(x+1)(x+3)(x+5)}{x(x+2)(x+4)(x+6)} = \frac{1}{16} \qty( \frac{5}{x} + \frac{3}{x+2} + \frac{3}{x+4} + \frac{5}{x+6} )$$ みたいな部分分数分解を一般化して、$$\frac{(x+1)(x+3) \cdots (x+2n…

序 しりとりで、小さい文字で終わった場合はその直前の文字とともに続けるルールを採用するものとする。このとき、たとえば「ダヴィ」→「ヴィヴァルディ」→「ディスプレイ」などが成り立つ。さて、「ツァ行」の「ツァ」「ツィ」「ツェ」「ツォ」で終わった場…

序 またおよそ 7 年ぶりの続編。以前、マニアのための n 倍角・その 3 において、$$\cot n \theta = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi)$$の成立を示した。これをさらに変形すると、$$ \begin{align} \cot n\theta &= \frac{1}{n…

公式 正の整数 $n$ と複素数 $z$ について、次の等式が成り立つ。$$\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{z-\zeta_n^k} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\zeta_n^k}{z-\zeta_n^k}$$ただし、$z^n \neq 1$ であり、$\zeta_n \triangleq e^{j 2 \pi /n}$ と定義す…

あるいは、調和数列の 2 乗の積の部分分数分解はどう表されるかが気になったので。前回の発展版。 e10s.hateblo.jp 調和数列の積の部分分数分解 公式 調和数列の積の 2 乗の部分分数分解 公式 証明 蛇足 組合せ論的な議論 調和数列の積の N 乗の部分分数分解…