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2 次正方行列の累乗の次数減らし・証明

以前書いた、2 次正方行列の累乗の次数減らしの公式 を証明する。
$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ なる 2 次正方行列について、$\alpha = a+d$, $\beta = ad-bc$ とおき、
$$t_n=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}{_{n-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{n-(2k-1)}\,(-\beta)^{k-1}$$
としたとき、$n \geq 2$ なる整数 $n$ について、$A^n=t_n\,A-t_{n-1}\,\beta E$ が成り立つことを数学的帰納法により示す。
ただし、便宜上 $0^0=1$ として計算する。
I) $n=2$ のとき、
$$\begin{align}t_2 &= \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{3}{2} \rfloor}{_{2-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{3-2k}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= \sum_{k=1}^{1}{_{2-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{3-2k}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= {_1{\rm C}_0}\,\alpha\,(-\beta)^0 \\ &= \alpha \\ \end{align}$$
$$\begin{align}t_1 &= \sum_{k=1}^{\lfloor 1 \rfloor}{_{1-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{2-2k}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= \sum_{k=1}^{1}{_{1-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{2-2k}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= {_0{\rm C}_0}\,\alpha^0\,(-\beta)^0 \\ &= 1 \\ \end{align}$$
よって、ケイリー・ハミルトンの定理より
$$\begin{align}t_2\,A-t_1\,\beta E &= \alpha A - \beta E \\ &= A^2 \end{align}$$
従って、$n=2$ のとき成り立つ。
II) $n=m$ のとき成り立つと仮定して、
$$A^m=t_m\,A - t_{m-1}\,\beta E$$
右辺に $A$ をかけて、ケイリー・ハミルトンの定理より、
$$\begin{align}t_m\,A^2 - t_{m-1}\,\beta A &= t_m\,(\alpha A - \beta E) - t_{m-1}\,\beta A \\ &= (t_m\,\alpha - t_{m-1}\,\beta)\,A - t_m\,\beta E \end{align}$$
これを (*) とする。
i) $m$ が偶数のとき
$\lfloor \frac{m+2}{2} \rfloor = \frac{m}{2}+1$, $\lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{m}{2} \rfloor = \frac{m}{2}$ より、
$$\begin{align}t_{m+1} &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}+1}{_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \end{align}$$
$$\begin{align}t_{m}\,\alpha &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} \end{align}$$
$$\begin{align}-t_{m-1}\,\beta &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}}{_{m-k-1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k \\ &= \sum_{k=1}^{\frac{m}{2}-1}{_{m-k-1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= \sum_{h=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-h}{\rm C}_{h-2}}\,\alpha^{m-2h+2}\,(-\beta)^{h-1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \end{align}$$
よって、
$$\begin{align}t_{m}\,\alpha - t_{m-1}\,\beta &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}} ({_{m-k}{\rm C}_{k-1}} + {_{m-k}{\rm C}_{k-2}})\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= \alpha^m + \sum_{k=2}^{\frac{m}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1} + (-\beta)^{\frac{m}{2}} \\ &= t_{m+1} \end{align}$$
ii) $m$ が奇数のとき
$\lfloor \frac{m+2}{2} \rfloor = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor = \frac{m+1}{2}$, $\lfloor \frac{m}{2} \rfloor = \frac{m-1}{2}$ より、
$$t_{m+1} = \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}{_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1}$$
$$t_m\,\alpha = \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}{_{m-k}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k+2}\,(-\beta)^{k-1}$$
$$-t_{m-1}\,\beta = \sum_{k=1}^{\frac{m-1}{2}}{_{m-k-1}{\rm C}_{k-1}}\,\alpha^{m-2k}\,(-\beta)^k$$
よって、
$$\begin{align} t_{m+1} - t_m\,\alpha &= \sum_{k=1}^{\frac{m+1}{2}}({_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}} - {_{m-k}{\rm C}_{k-1}})\,\alpha^{m-2k-2}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= 0 + \sum_{k=2}^{\frac{m+1}{2}} ({_{m-k+1}{\rm C}_{k-1}} - {_{m-k}{\rm C}_{k-1}})\,\alpha^{m-2k-2}\,(-\beta)^{k-1} \\ &= \sum_{h=1}^{\frac{m-1}{2}} ({_{m-h}{\rm C}_h} - {_{m-h-1}{\rm C}_h})\,\alpha^{m-2h}\,(-\beta)^h \\ &= \sum_{h=1}^{\frac{m-1}{2}} {_{m-h-1}{\rm C}_{h-1}}\,\alpha^{m-2h}\,(-\beta)^h \\ &= -t_m\,\beta \end{align}$$
i)ii) より、$t_{m+1}=t_m\,\alpha - t_{m-1}\,\beta$ であるから、(*) より、$n=m+1$ のときも $A^{m+1}=t_{m+1}\,A - t_m\,\beta E$ が成り立つ。
I)II) より証明された。
長いこと証明は放置していたが、ようやっと。この手の式変形は必須テクだね。