序
またおよそ 7 年ぶりの続編。以前、マニアのための n 倍角・その 3 において、$$\cot n \theta = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi)$$の成立を示した。これをさらに変形すると、$$
\begin{align}
\cot n\theta
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot(\theta + \frac{k}{n} \pi) \\
&= \frac{1}{n} \qty[ \cot \theta + \sum_{k=1}^{n-1} \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi ) ] \\
&= \frac{1}{n} \qty[ \cot(\theta + \pi) + \sum_{k=1}^{n-1} \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi ) ] \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi - \pi ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cot( \theta + \frac{k-n}{n} \pi ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1-n}^0 \cot( \theta + \frac{k}{n} \pi ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot( \theta - \frac{k}{n} \pi )
\end{align}
$$と表せる。$\cot$ の周期が $\pi$ であることに注意。
公式
正の整数 $n$ について、$\cot$ の $n$ 倍角の公式として次が成り立つ。
$$\cot n \theta = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot( \theta \pm \frac{k}{n} \pi )$$
今回はこの別証明を与えたい。
道具
e10s.hateblo.jp
再掲。
正の整数 $n$ と複素数 $z$ について、$$\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{z - \zeta_n^k} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\zeta_n^k}{z - \zeta_n^k}$$すなわち、$$\frac{1}{z^n-1} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{z \zeta_n^{-k} - 1}$$である。ただし、$z^n \neq 1$ であり、$\zeta_n \triangleq e^{j 2 \pi /n}$と定義する。
証明
Euler の公式より、$$
\begin{align}
\cot \theta
&= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \\
&=\frac{j (e^{j \theta} + e^{-j \theta})}{e^{j \theta} - e^{-j \theta}} \\
&=j \qty( \frac{1}{e^{j 2 \theta}-1} - \frac{1}{e^{-j 2 \theta} - 1} )
\end{align}
$$と表せる。このとき、$$\cot{n \theta} = j \qty( \frac{1}{e^{j 2 n \theta} - 1} - \frac{1}{e^{-j 2 n\theta} - 1} )$$である。この右辺を部分分数分解する。第 1 項について、$$
\begin{align}
\frac{1}{(e^{j 2 \theta})^n - 1}
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{j 2 \theta} \zeta_n^{-k} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{j 2 \theta} e^{-j 2 \pi k / n} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{j 2 (\theta - \pi k / n)} - 1}
\end{align}
$$であり、第 2 項について、$$
\begin{align}
\frac{1}{(e^{-j 2 \theta})^n - 1}
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 \theta} \zeta_n^{-k} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 \theta} e^{-j 2 \pi k / n} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 (\theta + \pi k / n)} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \qty( \frac{1}{e^{-j 2 \theta} - 1} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 (\theta + \pi k / n)} - 1} ) \\
&= \frac{1}{n} \qty( \frac{1}{e^{-j (2 \theta + 2 \pi)} - 1} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 (\theta + \pi k / n)} - 1} ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{e^{-j 2 (\theta + \pi k / n)} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1-n}^0 \frac{1}{e^{-j 2 (\theta + \pi (k + n) / n)} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1-n}^0 \frac{1}{e^{-j (2 (\theta + \pi k / n) + 2 \pi)} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=1-n}^0 \frac{1}{e^{- j 2 (\theta + \pi k / n)} - 1} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{e^{-j 2 (\theta - \pi k / n)} - 1}
\end{align}
$$であるから、$$
\begin{align}
\cot{n \theta}
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} j \qty( \frac{1}{e^{j 2 (\theta - \pi k / n)} - 1} - \frac{1}{e^{-j 2 (\theta - \pi k / n)} - 1} ) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot( \theta - \frac{k}{n} \pi )
\end{align}
$$となり、示された。
〆
件の部分分数分解の公式を眺めていたら、雰囲気が似ていたので試してみたのである。意外なところでこういうのがあるからやめられない。
