前回は 7 年近く前に書いた マニアのための n 倍角・証明 であるが、これは $\sin$ の $n$ 倍角、すなわち $\sin n\theta$ を $\sin(\theta+\alpha)$ の有限積で表すものであった。つまり、$$\sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)$$と表せるということを示した。
さて、左辺を $\theta$ で微分してみる。
$$\frac{d}{d\theta}\sin n\theta = n \cos n\theta$$
では同様に右辺を $\theta$ で微分してみるわけだが、積の微分法則の復習 で導出した、$$\begin{align} \frac{d}{dx}\prod_k f_k &= \qty( \sum_k \qty(\frac{df_k}{dx} \cdot \frac{1}{f_k} ) )\prod_k f_k \end{align}$$となる関係を用いることで、
$$\begin{align}
&\phantom{{}={}} \frac{d}{d\theta} \qty(2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi) ) \\
&= 2^{n-1} \frac{d}{d\theta} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi) \\
&= 2^{n-1} \qty[ \sum_{k=0}^{n-1} \qty(\qty(\frac{d}{dx}\sin(\theta + \frac{k}{n}\pi) ) \cdot \frac{1}{\sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)} ) ] \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi) \\
&= \qty[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\cos(\theta + \frac{k}{n}\pi)}{\sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)} ] \cdot 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi) \\
&= \qty[ \sum_{k=0}^{n-1} \cot(\theta + \frac{k}{n}\pi) ] \cdot \sin n\theta
\end{align}$$となるわけである。すなわち、
$$n \cos n\theta = \qty[ \sum_{k=0}^{n-1} \cot(\theta + \frac{k}{n}\pi) ] \cdot \sin n\theta$$であるので、$$\cot n\theta = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot(\theta + \frac{k}{n}\pi)$$
となって、$\cot$ の $n$ 倍角、すなわち $\cot n\theta$ が $\cot(\theta+\alpha)$ の有限和で表されることがわかる。何かしら図形的な意味を見いだせるのであろうか。
