$$\begin{align} \sin2\theta &= 2\sin\theta \cos\theta \\ &= 2\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \end{align}$$
$$\begin{align} \sin3\theta &= \sin(2\theta + \theta) \\ &= \sin2\theta \cos\theta + \cos2\theta \sin\theta \\ &= 2\sin\theta \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \sin\theta \\ &= \sin\theta\,(3\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \\ &= \sin\theta\,(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta) \\ &= \sin\theta \cdot 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \cdot 2\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \\ &= 4\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \end{align}$$
$$\begin{align} \sin4\theta &= \sin2(2\theta) \\ &= 2\sin2\theta \sin(2\theta + \frac{\pi}{2}) \\ &= 2\sin2\theta \sin2(\theta + \frac{\pi}{4}) \\ &= 2 \cdot 2\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \cdot 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \sin(\theta + \frac{3}{4}\pi) \\ &= 8\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \sin(\theta + \frac{3}{4}\pi) \end{align}$$
$$\begin{align} \sin5\theta &= \sin(2\theta + 3\theta ) \\ &= \sin2\theta \cos3\theta + \cos2\theta \sin3\theta \\ &= 2\sin\theta \cos\theta \,(4\cos^3 \theta - 3\cos\theta) + (1 - 2\sin^2 \theta )(3 \sin\theta - 4\sin^3 \theta) \\ &= 2\sin\theta\,(1 - \sin^2 \theta)(1 - 4\sin^2 \theta) + \sin\theta\,(1 - 2\sin^2 \theta)(3 - 4\sin^2 \theta) \\ &= \sin\theta\,(2 - 10\sin^2 \theta + 8\sin^4 \theta + 3 -10\sin^2 \theta + 8\sin^4 \theta) \\ &= \sin\theta\,(16\sin^4 \theta -20\sin^2 \theta + 5) \end{align}
$$ここで因数分解。$$
\begin{align} \sin5\theta &= 16\sin\theta\,(\sin^2 \theta - \frac{5 + \sqrt{5}}{8})(\sin^2 \theta - \frac{5 - \sqrt{5}}{8}) \\ &= 16\sin\theta\,(\sin\theta - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4})(\sin\theta + \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4})(\sin\theta - \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4})(\sin\theta + \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}) \\ &= 16\sin\theta\,(\sin\theta - \sin\frac{2}{5}\pi)(\sin\theta + \sin\frac{2}{5}\pi)(\sin\theta - \sin\frac{\pi}{5})(\sin\theta + \sin\frac{\pi}{5}) \end{align}
$$さらにここで和積の公式→倍角の公式。$$
\begin{align} \sin5\theta &= 16\sin\theta \cdot 2\cos\frac{\theta + \frac{2}{5}\pi}{2} \sin\frac{\theta - \frac{2}{5}\pi}{2} \cdot 2\sin\frac{\theta + \frac{2}{5}\pi}{2} \cos\frac{\theta - \frac{2}{5}\pi}{2} \cdot 2\cos \frac{\theta + \frac{\pi}{5}}{2} \sin\frac{\theta - \frac{\pi}{5}}{2} \cdot 2\sin\frac{\theta + \frac{\pi}{5}}{2} \cos\frac{\theta - \frac{\pi}{5}}{2} \\ &= 16\sin\theta \cdot 2\sin\frac{\theta + \frac{\pi}{5}}{2} \cos\frac{\theta + \frac{\pi}{5}}{2} \cdot 2\sin\frac{\theta + \frac{2}{5}\pi}{2} \cos\frac{\theta + \frac{2}{5}\pi}{2} \cdot 2 \sin\frac{\theta - \frac{2}{5}\pi}{2} \cos\frac{\theta - \frac{2}{5}\pi}{2} \cdot 2\sin\frac{\theta - \frac{\pi}{5}}{2} \cos\frac{\theta - \frac{\pi}{5}}{2} \\ &= 16\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{5}) \sin(\theta + \frac{2}{5}\pi) \sin(\theta - \frac{2}{5}\pi) \sin(\theta - \frac{\pi}{5}) \\ &= 16\sin\theta \sin(\theta + \frac{\pi}{5}) \sin(\theta + \frac{2}{5}\pi) \sin(\theta + \frac{3}{5}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{5}\pi) \end{align}
$$以上から推測すると、次が成り立ちそう。$$\displaystyle \sin n\theta = 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(\theta + \frac{k}{n}\pi)
$$というものを 7 年前に見つけたのだった。倍角の公式や 3 倍角の公式を $\sin$ あるいは $\cos$ だけで表せばもう少しすっきりとした式になるのではないかということで式変形していったところ、このような法則性を発見したのだが、当時はこれを証明する腕などなかった。それから何年かし、とある本の公式集でこれを発見。感動の再会。それ以前も以後もことあるごとに証明を試みるも撃沈。このところこれが気になって夜も眠れなかったために気合いでぐぐったところ、ここ に証明が載っているのを発見。3 日ほど前のこと。わかりやすそうでわかりにくい証明なので手を動かしてみたのだが、同じようなアプローチでももう少しエレガントに証明できそうだと思ったのでやってみた。
