ヨーキョクデイ

多趣味で器用貧乏なブログ(j は虚数単位)

三角関数のラプラス変換の「証明」でたまに見かけるインチキについて考えてみた

Laplace 変換

 f(t)Laplace 変換  \mathcal{L} [f(t)](s) は次の式で表される。

\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt

 s複素数とする。

指数関数の Laplace 変換

まずは  e^{at}Laplace 変換を考えたい。ここで、 a \in \mathbb{C} とする。

\begin{align} \mathcal{L} \left[ e^{at} \right]
&= \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st} dt \\
&= \int_0^{\infty} e^{(a-s)t} dt \\
&= \left[ \frac{e^{(a-s)t}}{a-s} \right]_0^{\infty} \\
&= \lim_{t \to \infty} \frac{e^{(a-s)t} - e^0}{a-s}
\end{align}

これは  \mathrm{Re}\,(a-s) < 0 すなわち  \mathrm{Re}\,s > \mathrm{Re}\,a で収束して、

\begin{align} \mathcal{L} \left[ e^{at}\right]
&= \frac{0-1}{a-s} \\
&= \frac{1}{s-a}
\end{align}

となる。収束域は  \mathrm{Re}\,s > \mathrm{Re}\,a である。

三角関数Laplace 変換

ここでは、三角関数を指数関数で表記し、上記の結果を用いて計算することで煩雑な部分積分を回避する。以下、  b \in \mathbb{R} とする。

指数関数の Laplace 変換の結果から、

\displaystyle \mathcal{L} \left[ e^{\pm jbt} \right] = \frac{1}{s-\mp jb}

であって、収束域は  \mathrm{Re}\,s > \mathrm{Re}\,\pm jb = 0 である。複号同順。

余弦関数の Laplace 変換

\begin{align} \mathcal{L} \left[ \cos bt \right]
&= \mathcal{L} \left[ \frac{e^{jbt} + e^{-jbt}}{2} \right] \\
&= \frac{1}{2} \left( \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] + \mathcal{L} \left[ e^{-jbt} \right] \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-jb} + \frac{1}{s+jb} \right) \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{s+jb+s-jb}{s^2 + b^2} \\
&= \frac{s}{s^2 + b^2} 
\end{align}

となり、途中で現れた指数関数の Laplace 変換部分の収束域がともに  \mathrm{Re}\,s > 0 であるから、全体としてこの変換の収束域は  \mathrm{Re}\,s > 0 である。

正弦関数の Laplace 変換

同様に、

\begin{align} \mathcal{L} \left[ \sin bt \right]
&= \mathcal{L} \left[ \frac{e^{jbt} - e^{-jbt}}{j2} \right] \\
&= \frac{1}{j2} \left( \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] - \mathcal{L} \left[ e^{-jbt} \right] \right) \\
&= \frac{1}{j2} \left( \frac{1}{s-jb} - \frac{1}{s+jb} \right) \\
&= \frac{1}{j2} \cdot \frac{s+jb-(s-jb)}{s^2 + b^2} \\
&= \frac{b}{s^2 + b^2} 
\end{align}

となり、収束域は  \mathrm{Re}\,s > 0 である。

これらが真っ当な証明であろう。

三角関数Laplace 変換におけるインチキ

ここからが本題。

オイラーの公式から、 e^{jbt} = \cos bt + j \sin bt であるから、この両辺を Laplace 変換すると、

\displaystyle \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] = \mathcal{L} \left[ \cos bt \right] + j \mathcal{L} \left[ \sin bt \right]

であるが、左辺の Laplace 変換を具体的に計算し、右辺のような形に変形することで、正弦関数と余弦関数の Laplace 変換を一挙両得で導こうというインチキがはびこりがちなので紹介する。

上に示した結果から、

\begin{align} \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right]
&= \frac{1}{s-jb} \\
&= \frac{s+jb}{s^2+b^2} \\
&= \frac{s}{s^2+b^2} + j \frac{b}{s^2+b^2} 
\end{align}

と変形できるわけで、ここまでは問題ない。

ここからインチキが始まって、2 つの形で表した  \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] の「実部」と「虚部」をそれぞれ比較してみようという話になる。

「実部」 \mathrm{Re?}\, \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] について、

\begin{align}
 \mathrm{Re?}\left(  \mathcal{L} \left[ \cos bt \right] + j \mathcal{L} \left[ \sin bt \right] \right) &= \mathrm{Re?}\left( \frac{s}{s^2+b^2} + j \frac{b}{s^2+b^2}  \right) \\
 \mathcal{L} \left[ \cos bt \right] &= \frac{s}{s^2+b^2}
\end{align}

また、「虚部」 \mathrm{Im?}\, \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] について、

\begin{align}
 \mathrm{Im?}\left(  \mathcal{L} \left[ \cos bt \right] + j \mathcal{L} \left[ \sin bt \right] \right) &= \mathrm{Im?}\left( \frac{s}{s^2+b^2} + j \frac{b}{s^2+b^2}  \right) \\
 \mathcal{L} \left[ \sin bt \right] &= \frac{b}{s^2+b^2}
\end{align}

というインチキによって、所望の式が得られたように見える。わざわざカギカッコやハテナを付けた部分にインチキがある。

そもそも最初に書いたとおり、 s複素数であるので、それが絡んだ分数式の部分も複素数である。 u,v,z \in \mathbb{C} として、 z=u+jv と表せても、一般には  \mathrm{Re}\,z \ne u であり、 \mathrm{Im}\,z \ne v である。それゆえ、今回のような「実部」と「虚部」のような考え方は一般には正しくない。

 \mathcal{L} \left[ \cos bt \right]  \mathcal{L} \left[ \sin bt \right]  を知っているときに、 \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right] を計算するために、

\begin{align} \mathcal{L} \left[ e^{jbt} \right]
&= \mathcal{L} \left[ \cos bt \right] + j \mathcal{L} \left[ \sin bt \right] \\
&= \frac{s}{s^2+b^2} + j \frac{b}{s^2+b^2} \\
&= \frac{1}{s-jb}
\end{align}

と順に変形していくのは妥当だが、その逆順をたどるのはいかがわしいという話である。

フォロー

この実部・虚部比較は  s複素数としたときの証明としては不正確だが、 s を実数とするケースがあるらしく、その場合は正当な方法であろう。そうでなくても、変換公式を忘れていたときに手元で導出するために使う分には有用なトリックだろう。