問題
数学セミナー 2022 年 3 月号のエレガントな解答をもとむ、の出題 1。 解答は同 6 月号。
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正の整数 $k$ について次の値を求めよ。
$$\sum^k_{j=0}(-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1}$$
というシンプルなもの。
解答
部分分数分解の公式より、$$\prod_{j=0}^n \frac{1}{z+j} = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^n (-1)^j \binom{n}{j} \frac{1}{z+j}$$が成り立ち、この両辺を $(-2)^{n+1}$ で割ると、$$\prod_{j=0}^n \frac{1}{-2(z+j)} = \frac{1}{(-2)^n n!} \sum_{j=0}^n (-1)^j \binom{n}{j} \frac{1}{-2(z+j)}$$である。これに $n = 2k+1,-2z = 2k+1$ を代入して、$$\prod_{j=0}^{2k+1} \frac{1}{2(k-j)+1} = \frac{1}{(-2)^{2k+1} (2k+1)!} \sum_{j=0}^{2k+1} (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1}$$となる。つまり、$$\sum_{j=0}^{2k+1} (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1} = (-2)^{2k+1} (2k+1)! \prod_{j=0}^{2k+1} \frac{1}{2(k-j)+1}$$である。
ここで、$$
\begin{align}
&\phantom{{}={}} \sum_{j=k+1}^{2k+1} (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1} \\
&= \sum_{j=-k}^0 (-1)^{2k+1+j} \binom{2k+1}{2k+1+j} \frac{1}{2(k-(2k+1+j))+1} \\
&= \sum_{j=0}^k (-1)^{2k+1-j} \binom{2k+1}{2k+1-j} \frac{1}{2(k-(2k+1-j))+1} \\
&= \sum_{j=0}^k (-1)^{1-j} \binom{2k+1}{j} \frac{-1}{2(k-j)+1} \\
&= \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1}
\end{align}
$$が成り立つ。また、同様の変形により、$$
\begin{align}
&\phantom{{}={}} \prod_{j=k+1}^{2k+1} \frac{1}{2(k-j)+1} \\
&= \prod_{j=-k}^0 \frac{1}{2(k-(2k+1+j))+1} \\
&= \prod_{j=0}^k \frac{1}{2(k-(2k+1-j))+1} \\
&= \prod_{j=0}^k \frac{-1}{2(k-j)+1} \\
&= (-1)^{k+1} \prod_{j=0}^k \frac{1}{2(k-j)+1}
\end{align}
$$が成り立つ。さらに、$$
\begin{align}
&\phantom{{}={}} \prod_{j=0}^k \frac{1}{2(k-j)+1} \\
&= \frac{1}{(2k+1)!!} \\
&= \frac{2^k k!}{(2k+1)!}
\end{align}
$$
が成り立つ。
したがって、$$2\sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1} = (-2)^{2k+1} (2k+1)! \cdot (-1)^{k+1} \qty[ \frac{2^k k!}{(2k+1)!} ]^2 $$となるから、これを整理して、$$\sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{2k+1}{j} \frac{1}{2(k-j)+1} = \frac{(-16)^k (k!)^2}{(2k+1)!}$$となる。
〆
この問題に取り組んだせいで、今年の春から部分分数分解ネタにお熱なのだったという実。あの思い入れの強さと裏腹に実用性不明な公式の活用先を初めて見いだせたので、非常によかったという思い出。
